DE LA FORMULE DE STIRLING. 17 



Ces considérations, jointes à ce que nous avons trouvé précédemment sur 

 les limites de p, nous permettent d'énoncer sur le nombre m', le théorème 

 suivant : 



Si a n'est pas inférieur à l'unité, et qu'il uy ait point d'entier compris 

 mtre m _i_ s L e t r a 4- 4, on obtendra la valeur de ni' qui donne 



' » 7. Ta * 



l'erreur minimum, en prenant pour m' le plus grand entier contenu dons 



S'il tombe en entier entre ces deux limites, il y aura doute s'il faudra 

 prendre ou cet entier ou celui qui le précède pour la valeur de m'; mais il faut 

 remarquer que ces cas, très-rares d'ailleurs, sont les moins importants, car 

 ce sont justement ceux où il est indifférent de prendre soit ce nombre en- 

 tier, soit celui qui le précède, Terreur étant à peu près la même dans les 

 deux cas. 



§ 6. Nous pouvons maintenant énoncer sur la formule de Slirling les 

 théorèmes suivants : 



I. Dans la formule de Slirling, Terreur va constamment en décroissant , 

 aussi longtemps que Ton n'a pas m > m + f — — ■ Dès que m atteint 

 r.a 4-t, Terreur recommence à croître et croit indéfiniment. 



IL Aussi longtemps que m n'est pas supérieur à ~«+f — YTa> ' erreur esl 

 moindre que la moitié du terme auquel on s'arrête. 



ÏII. Tant que m n'est pas supérieur à m — ■- - - ^ , Terreur est moindre 

 que la moitié du terme auquel on s'arrête, mais en même temps elle est plus 

 forte que la moitié du terme qui aurait suivi. 



IV. Si m, atteint m — {, Terreur est plus faible que la moitié du terme 

 qui aurait suivi. 



V. Si m atteint m -{- f , Terreur est plus faible que la moitié du ternie 

 qui aurait suivi, et plus forte que la moitié du dernier terme. 



VI. Enfin si m n'est pas supérieur à -.a -j- } — — , on peut prendre 

 indifféremment : 



loa T (1 -t- a) = \ log w 2t« -f- a (log a — I ) -+- — 5-r-r -+- { — çtt: — ~^T^, 



p v ' ° 1.2a 3.4a 3 (2m—a) (2m— 2) a* 



Tome XXX. J 



