4 SUR UN POINT DE LA THEORIE 



Si on arrête la série de Stiriing à un terme quelconque, l'erreur commise 

 rsf moindre que le dernier terme conservé, et moindre encore que le ferme 

 qui aurait suivi. 



La question que je me suis proposée est relativement sans aucune impor- 

 tance. Il est rare, lorsqu'on emploie la formule de Stiriing, que Ton pousse 

 le calcul jusqu'au terme qui donnerait l'erreur minimum. Il suffit que Ton 

 sache que chaque terme est une limite supérieure de l'erreur commise en 

 calculant la série jusque-là, et que de plus, on ait démontré, comme l'ont 

 fait Legendre et Cauchy, que les termes vont en décroissant aussi longtemps 

 (pie m n'est pas supérieur à r.a. Mais lors même que leur utilité pratique 

 serait tout à fait nulle, on ne doit pas moins étudier les points restés ohscurs 

 des théories importantes et qui n'ont pas encore été abordés par des mé- 

 thodes rigoureuses. A ce titre, la présente recherche ne sera peut-être pas 

 dénuée d'intérêt. On verra, du reste, qu'elle nous permettra d'énoncer sur 

 la série de Stiriing elle-même quelques propositions assez remarquables. 



§ 2. Cauchy a démontré (Exercices d'analyse et de physique mathémati- 

 que, t, II, pages 393 et suiv.) que l'on a rigoureusement pour toute valeur 

 positive de a : 



lo S r(i + «) = *lo^« + «(log«-i)+-^ a --^ + (2w _ i) . 2 ,„.^--» 



-+-(-))"'/ v„,e—dx, 



O 



où B,, B 3 , B s ... B 2 „,_, représentent les nombres de Bernoulli, et 



^ r x îm x 5 '" x im 1 



''"' == 2 \_{<2r) im [{**)* -t-x*] + (4t) 5 "- [(4t) 4 -i- x f ] + (6*f m [(6t) 2 + x-] + ' J 



L'intégrale définie /v,„e- x dx est donc égale 



o 



2 / — 



ilx 



)* [(Zrx) % + a?] 

 Si dans chacune des intégrales dont se compose cette somme, on rem- 



