DE LA FORMULE DE STIRLING. 



place x par %'nx , on aura : 



v„ e dx = 2, / . e dx. 



Et comme : 



2 r = , - e = log 



« — 2,7 ax 



r I — e 



on aura pour le terme sommatoire la forme remarquable 



r,„ e"" 1 dx = - ! -f— ï log *- 



— airax 



1 — e 



Ainsi on a pour toute valeur de a positive, la formule rigoureuse 



B, B 3 . 



logr(l-Ki)= ilog2sra -+- n (logo — 1) 



1.2a 5.4a 5 (*2»i— 1)2»ia îm - ' 



/m 

 X im 1 

 log , dx, 



dont on peut voir la démonstration directe dans le mémoire cité de M. Schaar, 

 qui a le premier présenté sous cette forme élégante le terme sommatoire de 

 la formule de Stirling *. 



Ainsi la valeur absolue de Terreur commise, en prenant, dans la série de 

 Stirling, m termes à partir de jf a , est représentée par 



/x im dx 1 

 log — - • 

 1 + x* ° 1— e-*" 1 



' Remarquons en passant que, sous cette forme, le théorème énoncé au § 1 est évident; car 

 lintégrale 



/ log — dx , 



o 



étant essentiellement positive, il résulte que l'erreur est toujours de signe contraire au dernier 

 terme conservé, et comme les termes sont alternativement positifs et négatifs, l'erreur change 

 de signe à chaque terme, ce qui exige qu'elle soit moindre que le dernier terme conservé, 

 et moindre que celui qui aurait suivi. 



