6 SUR UN POINT DE LA THÉORIE 



Si Ton avait pris un terme de moins, cette erreur aurait été exprimée par 



f 



rïm— 2 



dx 



„! '"S 



toc 



l_e-»"= 

 La différence entre ces deux erreurs est exprimée par l'intégrale définie 



1— x*)dx 



\f 



lOfi 



-I- X 2 



Si je considère celte intégrale définie en elle-même et comme une fonc- 

 tion continue de w, je remarquerai que sa dérivée par rapport à m est con- 

 stamment négative. Cette intégrale va donc constamment en décroissant à 

 mesure que m croit. Si elle passe par zéro, elle ne peut y passer qu'une seule 

 fois, et est constamment positive pour des valeurs inférieures de m, et con- 

 stamment négative pour des valeurs supérieures. Représentons donc par p 

 la fonction de a qui satisfait à l'équation transcendante 



./' 



I — x 2 ) dx 

 -T 2 — io S 



Puis représentons par m' le nombre entier contenu entre u — 1 et ,«, il est 

 facile de voir que m' sera la valeur de m, qui satisfera à la question posée. 

 En effet, aussi longtemps que l'on n'aura pas m > m' , l'erreur, en prenant 

 m — 1 termes, serait plus forte qu'en prenant m termes. En prenant w»'+l 

 termes, au contraire, et d'autres valeurs plus grandes pour m, l'erreur serait 

 constamment plus forte qu'en prenant un terme de moins. 



Dans le cas où p. serait un nombre entier, il y aurait deux termes qui 

 donneraient l'erreur minimum, et il serait indifférent de prendre, soit 



log r ( 1 h- a) = i log 2*-a + a (Iog a — 1 ) ■ 



1.2a (2a* — 3) (2a*— 2)o 2 ^ 3 



OU 



b, (— iy-*B»i- 3 



log r ( I + a ) = a log 2;ra -f- a { log a — 1 ) ■+- 



1.2a ' ' (8fç— 3)('2/«— 2)0*-* 



(-If-'B^., 



+ ( 2a* — I ) 2a*. a*- 1 ' 



