DES LIGNES DE COURBURE. '211 



Au moyen des dernières valeurs, Téqualion (7) devient 



cos^ Bd. [(b + Y sin^ o)y^b -4- X] _ sin'orf.[(6+X coiU)Vb-\-\] 



Or: 



(«7} 



1 



d.[(b + Y sin-ô) Vb -+- X] = \{b -+- Y sin'6)dX + 2 sin'ei(6 -+- X)]rfY, 



2 V/(; + X 



, , /X (6 + Y) YdX — 6Xc/Y 



''•\/-(6 + Y)= -^ ' 



V y' 2Yl/XYi6+Y 



donc Pé(iuation (87) équivaut à 



Xcos'6 [(6 H- Y siii-6)dX -4- 2 sin'ô [b + X)(A'] [(6 + YjYrfX — 6X(/Y] 

 = Y sin- ()[(b + X vos'>))d\ h- 2 cos'fl (6 + Y)rfX] [(6 + X)X(yY — b\d\] 



m) 



Celle-ci a la forme 



AdX:' -4 BrfXrfY -t- Cc/Y' = , (S!)) 



en supposant : 



A= Xcos'â (6-i-Ysin-e) ^6-t-YjY-<-26'sin^e cos-e(6+ Y)Y', 

 B=Xcos'9[2sin^o(6-4-X) (6-kY)Y— 6X(6h- Ysin^ e)] 



— Ysin^6[2cos'o(6-HX) (6 + Y)X — 6Y(6+Xcos'û)], 



— C=Y sin^ 9 (6+Xcos'9) (6 + X)X+26''sin-ûcos-« (6 + X)X-; 



ou 



A = (6 + Y) Y cos' ij [ X (6 -t- Y sin' 6) -+- 26Y sin' ] , \ 



B = 6 [ Y- sin' ô (()-+- X nos' e) — X' cos' ô (6 + Y sin'' e) ] , | . . . (;»0) 

 — C =(6 + X)Xsin'ô[Y(fc + Xcos'9)-»- 2feXcos'e]. J 



Ces valeurs, plus simples que celles du n" 38, ne permettent |)as, néan- 

 moins, d'espérer que Téqualion (89) soit intégrable. 



41. Troisième mélhode. Pour essayer de déterminer les surfaces ortho- 

 gonales à la surface donnée, je prends Téquation de celle-ci sous la forme 



V{x sin 6 — y cos 6)' -t- z^ H- V{x sin -t- ij cos Df -\- z' = o; . • • (!H) 



