28 RECHERCHE 



laquelle peut être mise sous la forme 



(x- siir — b^) [xy (y- cos"^ d — 6*) sin'^ 6dx — b- [x- sin' fl — b-) dy]. 



L'équation (81) devient donc 



cos'é{x^smH — b^) [(y''smH+b-)dx + ^xysm^edy] [xy{y' cos-" 6 — b^) sin'ddx- b^{xhinH-byi y] \ 

 = sin'«(/cos-fl-6=) [{x-cos^e-i-b-)dy-^2xycos'edx] [xy{x^smH—b-)cos^f)dy — b%y^eos'<j — byx] \ ''"^'^ 



Si l'on écrit ainsi cette dernière : 



^dx^ -i- Bdx dy h- Cdy^=^o, (85) 



on trouve : 



A = xy {tf cos^ 9 — 6') sin' cos' h [{y- sin^ e + b^) {x^ sin' 9 — b^) cos^ +26' (y^ cos's — b') sin' o], \ 

 B = 6- [y^cos^e-by{x^sm^B + 6'-) sin*e — (x-sin'9— 6'f (.y'cos-0H-6=) cos*e], ( (84) 



— C = xy[x^sm^ ô— 6-) sin'9 eos'a [(a;^cos''6+6^) [tfcosU — b^) sin^e + %'-{x"sm-e—b'-) cos'!)] ) 



Ces expressions sont si compliquées, que l'intégration de l'équation (83) 

 parait fort difficile. 



39. Remanjue. Lorsque sin 6 = cos 5 = ^, les formules (84) se ré- 

 duisent à celles que nous avons trouvées plus haut (36). 



40. Deuxiè?ne méthode. Dans l'équation 



bh- = {x^ sin^ 9 — b^) {y- cos'- e — b^) , (d) 



je suppose 



x' sin- 9 - 6* = 6X , y^ eos' ô — b^ = bY; (8o) 



c'est-à-dire 



a; sin 9 = V b{b h- X), y cos 9 =^ y'h(b -+- Y). 



Il résulte, de cette transformation : 



z = I/XY ; 



(8(i) 



puis 



Y X sin^ 6 sin 9 . /Y^ ~ X y cos"' o cos 9 . /X 



.-.p.= l-j:^ ^/^^, ^ ^ ^^^ /.+xcos-9 ^^-_ 



•^t-sing 1/6. cos 8 



