DES LIGNES DE COURBURE. 27 



c'est-à-dire à Véqualion unique 



a;y + 26V-4- 26-1/-— l'26'=o (77) 



La surface admet donc une ligne ombilicale, ou plutôt une ligne de cour- 

 hures sphéri(fues (Leroy, Analyse appliquée, p. 333). 



IV. Si l'on élimine a?-/ entre les équations (62) et (77), on trouve 



j:^ + y^ + ;^ = 46* (78) 



Par conséquent, la ligne ombilicale est située sur une sphère qui a pour 

 centre le sommet de l'angle donné, et pour rayon, la constante 26. Cette sphère 

 passe par les ombilics principaux. 



38. Cas général. Première méthode. L'équation (61), traitée comme 

 l'équation (62), donne d'abord : 



(if cos'e — 6')x sin'e ^ _ (a:^ sin- a — 6')^ cos- o 



f = - 57^ ■ ^- W^^—-- ■ ■ <"' 



(v'sin'6 + 6^)x cos'« (a;' cos' « -+- b')y sin'e 



^■ + P^-- ^ . y + t^ = ^. • • • • (*^*'' 



Ces valeurs, substituées dans l'équation (7), conduisent à 



sin' éd. [(x' cos' 6 ■+- b'')ij] _ 



r(xWe_-6^-| 

 cos'^.rf. 



ou, en développant, à 



,:os*e [((/-sin'e + b^lx -^- 2xijsm'od;j] [;:'(x'siiro - b')dy + -Ixyz'sinHdx - y [xhin'e -b')zdz] | ^^^^ 

 :sin* e [(x'cos'o + b')dy -t- '2xycosHdx] [z^y^cosH — 6')(/x-t- 2x)/z'cos'9(/i/ — x(»/'cos'9 — 6')jfk] \ 



On a 



bhdz = (/ cos'o — b-)xdx sin' -t- (x' sin' 6 — b')ydy cos' ; 



de sorte que le dernier facteur du premier membre, dans l'équation {Si) , 

 peut être remplacé par la (pianlilé 



(x' sin' — 6')' (;(/' cos' — 6') dy -+- 2x»/ (x' sin' — 6') (y' cos' e — 6') sin' êdx 

 — (x' sin' fj — 6') (//-cos'fj— <>')x(/rfx sin'o — (x'sin'o — 6-)',i/rf»/ cos'o, 



