DES LIGNES DE COURBURE. 23 



ou encore 



Aa^z^ = (a -t X H- !/) (a -1- a: — ^) (n — x -\- y) {a - x — ij) . . . (oitj 



Si les droites font entre elles un angle quelconque '2e, je prendrai, pour axe 

 des X el des y, les bissectrices de cet angle et de l'angle supplémentaire; et 

 alors la surface sera représentée, soit par l'équation 



l/(x sin 6 — »/ cos 6'f -1- z- -^- \/{x sin e -4- »/ cos 6°- -^ z^=-lb , . . . ((jO) 



soit par celle-ci : 



b-z- = (¥ — x'ûn^i)){li' — ifi:Qi-i>), ■ (Cl) 



qui devient, dans le cas de l'angle droit, 



Wz- =^ [x^ — W) if — W) (6i>) 



34. Discussion. Elle a été faite , pour le cas où les droites sont rectangu- 

 laires, par 31. Dupain [Nouvelles Annales de mathémaliques , tome XX, 

 |). 57). Le cas général donnerait lieu à une discussion toute semblable, à 

 laquelle nous ne croyons pas devoir nous arrêter. Nous ferons observer, seule- 

 ment, que sur les surfaces dont il s'agit, il existe des zones, indéfinies, dont 

 tous les points satisfont à cette condition, que la différence des dislances de 

 chacun d'eux aux côtés de l'angle, soit constante. 



35. Lignes de courbure de la surface (57). On a vu, dans le para- 

 graphe m, que les surfaces représentées par 



xy 



Vx- -4- z^ -+- l/y' -+- z- = n , l/x- -^r z^ — \/y- ■^- z- = b, -y- = r , 



constituent un système orthogonal. La première surface étant celle dont nous 

 nous occupons, il en résulte que ses lignes de courbure sont connues. 



A cette solution indirecte , donnée d'abord par M. Serret, nous pouvons 

 joindre plusieurs solutions directes. 



36. En premier lieu, tirons, de l'équalion (62), les valeurs de p = ;f. , 



7 =-^ , et substituons-les dans l'équalion 



d{X -h-pz) ^ '%_^/£) _ _ g. 



dp (hj 



