DES LIGNES DE COURBURE. 9 



Eu cliaciue point des lignes de courbure déterminées par la surface 1, , 

 on. a 



fV,!J,-)-HP), ■ • • (l"') /;(x,//, -) = ;5 (l(i) 



Si donc, entre les équations (14-), (15) et (16), on élimine deux des trois 

 variables x , y,z, Téquation résultante devra être idenlique. En exprimant 

 les conditions nécessaires pour que la troisième variable disparaisse ainsi 

 en même temps que les deux autres, on obtiendra deux équations différen- 

 tielles entre if, ?: et /3. 



8. Remarque. Si l'on ne peut disposer des fonctions <]>, t., de manière à 

 éliminer x, y, z entre les équations (14), (15) et (46), on conclura, de 

 cette impossibilité, que les surfaces 2,, 2., n'existent pas, ou que les sur- 

 faces S n'appartiennent pas à un système orthogonal. D'après une remarque 

 de M. Serret (*), ce cas d'exception devra se présenter fréquemment. 



9. Comme application de la méthode précédente, prenons d'abord les 

 paraboloïdes représentés par 



xy 



(17) 



Les équations (3) sont, dans ce cas, 



dx dij zdz 



y X xy 



Celles-ci ont pour intégrales : 



x^ -t- j* = X, y^ + z° = S; 



en sorte que les surfaces 2, normales aux paraboloïdes donnés, sont com- 

 prises dans l'équation 



Les équations (14), (15), (16) deviennent 



x' + z^ — z\<i,' + n) -t- [f + z") ■p'n' =0, x- -+-:'- = i ((3) , y' -t- 2' = p. 

 (*) Journal de LiouviUe, t. XII , [>. 242. 



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