DES LIGNES DE COURBURE. 



Donc, à cause de la symélrie, 



dx r/i/ dz 



d.cosy </.cos p (Z.cosj' 



(9) 



Telle est la Iransformée à laquelle nous voulions parvenir. Pour Pélablir 

 directement, il suffit d'écrire ainsi les équations de la normale : 



X — X = ?cos/, y — Y = /coS|a, z — Z ■= l cos ■/ [') . . . . (10) 



En exprimant que les deux normales infiniment voisines se rencontrent, 

 on oblienl : 



[Ix = cos ) .(// -t- td. {cos a), dij = cos [idl -t- Id. {cos ft), dz = cos vdl -+- Id . (cos v) ; (11) 



puis 



cos '/ .dx ■+- cos f;! . dy -+- cos v.dz^ di. 



Le premier membre est nul; donc dl=o. Ainsi, /es deux normales infini- 

 ment voisines ont même longueur. Ce résultat, évident à priori, montre que 

 les relations (H) peuvent être remplacées par 



''^ '''J '^^ =/ (12) 



(i.cosA d.cosfj. (/.cos 



6. Les équations (9) ou (11) démontrent immédiatement le théorème dé 

 Joachimstal. En effet, si la ligne de courbure est plane, on a 



A(/x -4- Bdy ■+- Cdz = o; 



d'où 



A(L cos ) -t- Bd . cos ^ -t- Crf . cos V ^ ; 



c'est-à-dire 



A cos ) -t- B cos u. -+- C cos V = constante ; 



etc. 



(■) / rcpri'sentc la distance comprise entre le point {x, y, z) et le point (X, Y, Z) où se 

 coupent les deux normales infiniment voisines. 



