DES LIGiNES DE COURBURE. 17 



généralrices, des segments égaux (*). Donc les surfaces développables le,, 2^' 

 sont parallèles. C'est ce qu'il fallait démontrer. 



23. Le cas où les surfaces S sont développables paraît être l'un des plus 

 simples et des plus intéressants. On y peut joindre celui des surfaces-canaux , 

 dont nous parlerons tout à l'heure, et celui des surfaces de révolution : si les 

 méridiens sont des courbes parallèles, les surfaces 2, sont des cônes de révo- 

 lution, et les surfaces 2^ sont les plans méridiens. 



Notons encore le cas particulier où les surfaces S sont des héliçoïdes déve- 

 loppables, égaux entre eux, obtenus en faisant glisser l'un d'eux le long du 

 cylindre directeur. Les surfaces 2, sont alors des héliçoïdes développables, et 

 les surfaces 2., sont des plans tangents au cylindre directeur (11, 14). 



24. Lorsque la surface S sera donnée par son équation 



f'(x,V,^) = o, (40) 



il faudra, pour trouver l'équation des surfaces parallèles à S, éliminer x, y, z 

 entre (40) et les relations 



x' = X -V- l COS A, y' =?/-(- / COS f*, z' = z ■*- I COS V . . . . (41) 



Presque toujours, cette élimination sera fort pénible et l'équation résul- 

 tante sera beaucoup plus compliquée que celle d'où l'on est parti. Par exemple, 

 dans le cas très-particulier où la surface S serait le cylindre elliptique i-epi'é- 

 senté par 



«y -4 /Ar«= «'6% (42) 



on trouve que les cylindres parallèles à S ont pour équation 



-4- 4a'ôT(j'^ + xf — a'—h^—l^f+ i{ay -i- U'x- - uH^— IrP — aV,^f 



-f- i8a%H'{x' ^ if — é — b^—P) («*.)/*-+- hV — a'P — bH' - a^b^) — Tia'bH' = o. 



(*) Cette propriété est évidente si ron considère le développement de la surface S. Les co;irbes 

 Cj, Cg', Cg" ... deviennent les développantes de la ligne suivant laquelle se transforme l'arête de 

 rebroussement de S. 



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