16 RECHERCHE 



donc 



dx' cos >. + dij' tos fi -t- (/;:' cos :- = o; 



elc. 



19. Remarque. Ce théorème, presque évident, et sans doute très-connu, 

 justifie la dénomination de mr faces parallèles , que nous employons pour 

 caractériser les surfaces S, S'. 



20. Théorème. Les surfaces parallèles à une surface développable sont 

 développahles. 



Le plan tangent en un point M de la surface développable S est tangent tout 

 le long de la génératrice G qui passe en ce point. Si donc Texlrémité 31 de la 

 normale M'31 décrit la droite G, l'autre extrémité M' décrira une droite G', 

 parallèle à G. D'après le premier théorème, le plan tangent en M', à la sur- 

 face S', lieu des droites G', est tangent tout le long de G'. Donc la surface S' 

 est développable. 



21. Théorème. Des surfaces parallèles S, S', S", ... appartiennent tou- 

 jours à un système orthogonal. 



(considérons, sur la surface S, une ligne de courbure C,. Soit 2, la surface 

 développable, lieu des normales à S, menées aux différents points de C,. 

 La surface 2, est orthogonale par rapport à toutes les surfaces S', S", ... pa- 

 rallèles à S (18). La même conclusion subsiste pour la surface 2.,, lieu des 

 normales à S, menées par tous les points d'une ligne de courbure Ca, nor- 

 male à C,. Mais, évidemment, les surfaces 2,, 2^ sont oi'thogonales l'une à 

 l'autre, tout le long de leur génératrice commune. Donc les surfaces paral- 

 lèles S, S', S", ..., les surfaces développahles 2,, 2/, 2,", ... et les surfaces 

 cléveloppables 2^, 2^', 2o", ... forment un système orthogonal. 



22. Théorème. Il existe une infinité de systèmes ortltogonaux composés 

 de surfaces développahles parallèles, d'autres surfaces développahles paral- 

 lèles , et de plans. 



Si la surface S est développable, l'une des lignes C, , C^ est droite : suppo- 

 sons que ce soit C,. Alors la surface 2, est plane. D'ailleurs, les courbes 

 Cj, C./, Cl", ... trajectoires orthogonales des génératrices reclilignes de S, 

 sont parallèles , c'est-à-dire que C.,, CJ, par exemple, interceptent, sur ces 



