14 RECHERCHE 



remplace' ^piz) par <p{z)-\-a, la seconde lorniule ne change pas. Consé- 

 <iueninient : 



Soit A une courbe tracée arbitrairement sur un cylindre de rayon R , et 

 soient A', A", A'", ... les positions qu'occxiperait k, si cette courbe , se trans- 

 porlanl parallèlement à elle-même, engendrait la surface du cylindre. Soient 

 ensuite B une trajectoire orthogonale des courbes \, A', A", ... et B', B", B'", ... 

 les positions occupées par B , lorsque cette courbe se transporte parallèlement 

 à elle-même , de manière à engendrer la surface du cylindre: les lignes 

 B', B", ... sont aussi des trajectoires orthogonales de A, A', A", ... Si une 

 développante du cercle de rayon R se meut perpendiculairement à Vaxe du 

 cylindre, de sorte que son sommet décrive, d'abord une quelconque des courbes 

 de la première série, ensuite une quelconque des courbes de la seconde série; 

 les deux surfaces 2, , 23 , ainsi engendrées , sont orthogonales , et sont coupées 

 orthogonalement par les plans tangents au cylindre. 



14. Remarques. I. ToiUes les surfaces, appartenant à la même série, sont 

 égales entre elles. On les obtient toutes en attribuant à Tune cfelles un mou- 

 vement hélicoïdal (*). 



11. Si les courbes A sont des hélices, les courbes B sont aussi des hélices. 

 Dans ce cas, les surfaces 2, sont des hélicoïdes développables , tous égaux 

 entre eux ; et il en est de même pour les surfaces 2.. 



13. Chacune des surfaces 2, coupe toutes les surfaces 2^ suivant des géné- 

 ratrices, c'est-à-dire suivant des développantes de cercle. Ces développantes , 

 toutes égales entre elles, constituent donc, soit pour les surfaces 2,, soit pour 

 les surfaces 22, un premier système de lignes de courbure. 



Les lignes de courbure du second système sont les intersections des plans P 

 avec les surfaces 2, ou 2,. Pour une même série de surfaces, ces lignes de 

 coui'bure sont encore égales entre elles. En supposant c = tg y, on trouve 

 aisément : 



Si 



(*) Cesl-à-dire un mouvement composé d'une translation, parallèle à l'axe du cylindre, et 

 d'une rotation autour de cet axe. 



