DES LIGNES DE COLRBIJIIE. 13 



Les surfaces orthogonales aux plans donnés sont donc représentées pai- 



» -H arc cos l/w^— R^ = 9(:) (33) 



« 14 



On trouve ensuite : 



df Vis\na-\- V^ii' — ll-eosM df R cos a — Vu^ — Résina df 



'iho ^ R« ' ^h ~ ^"' ' ''" 



dx dy dz 



en sorte que Téqualion (14) devient 



1 



R^ • ' 



Les deux fonctions tz', ^p' étant liées par une seule équation , l'une d'elles 

 peut être prise arbitrairement. Par suite, aux plans (30) correspondent 

 deux séries de familles de surfaces orthogonales. Les unes ont pour é(|iiîilioii 



« + arccos ^ [^ u'' — R' = p {z) , (35) 



M R 



et les autres : 



co -f- arc cos \/u' — R^ = — — /-t^; (^<i) 



la fonction <|/ (c;) étant arbitraire. 



13. Ces surfaces peuvent être définies d'une manière bien simple. Il est 

 d'abord évident qu'elles admettent, pour sections horizontales (parallèles au 

 plan des xy), des développantes de cercle, toutes égales entre elles. D'un 

 autre côté, pour déterminer les courbes suivant lesquelles ces diverses sur- 

 faces coupent le cylindre auquel sont tangents tous les plans donnés, suppo- 

 sons M = K : les deux dernières équations deviennent, respectivement : 



R.= ,(.), R„ = _iy^ (57) 



Celles-ci appartiennent à deux courbes orthogonales. D'ailleurs, quand on 



