SUR LA TRANSFORMATION DES SÉRIES. 43 



il s'ensuit que 



i 



/»' — a- — arctg. i 

 dx=~G (96) 

 I - a 2 2 



II 



53. Une transformation de la série (95) va nous donner d'autres intégrales. 

 On peut écrire : 



L.= 2-(._l)-(l+I+i+... + i)-l— ; .... (97) 

 -^ \ 2 O ni 2« -4- 1 



mais il est visible que l'on a, en série convergente, 



i i i „'=■ î 



2 o « %=, p(« +p) 



donc 



^S^S^TT^Tw-^ •••••••• (9 8 ) 



-'t p ~Ui (2M-+- !)(« -t-p) 



Soil 



(— d)"-'n 



*p=5 



^„ = , (2m + I) (m -t-p) 

 on trouve aisément 



1, ' 1 — 



"U, (2n-M).(n-«-p) 

 Pour évaluer la dernière somme, il suffit de poser, en général , 



-t- 



3 (p -+- 1) S (p -t- 2) 7 (p -t- 5) 9 (p -t- 4) 



d'où 



« "(/» t 7 11 — arctg. Vu ; 



ou , en remplaçant u par x- : 



-•/"' 



x' i >'~ i dx (x — arctg. x) 



