SUR LA TRANSFORMATION DES SERIES. 13 



15. La série (18) est peu convergente; mais il est facile d'en trouver d'au- 

 tres qui le soient beaucoup plus. En effet, remarquons d'abord que l'équa- 

 tion (16), traitée comme la relation (15), donne 



v- (-i)-' _-ir i J U 1 



A (2« -+- 2x + i ) 2 |_2x -h 5 + (2x -+- 5) (2x ■+■ 5) + (2x + 5) (2x •+- 5) (2x -4- 7) " " J ' 



ou, sous une forme plus élégante, 



v — — > II')) 



9^ . C2a;-4- 3W9ar -4-51 .... f2.*-*- 2n -i- nï ' v ; 



■^,, = i 2« -+- -2x ■+■ 1 2 - J JI= j (2x+ 3) (2x + 5) ... (2x-t- 2p-*- ô) 



Maintenant, donnons à a? les valeurs entières 0, 1, 2, 3,... q; nous 

 aurons ces nouvelles expressions de j, contenant des séries qui ne sont autre 

 chose que des développements du reste de la série de Leibnitz : 



w £ y 1.2.3...f> 



2 ^o 3.5.7 ...(2/>-+- 5) 



* = 1 — i -h i V '-2.5. -p 

 4 3 "*" 2 A 5.7.9 ...(2p -+- 5)' 



= 1 



£ £ <„. i.2.5 ... ja M-°) 



3 '"*" 5~3*i 7.9.11 ...(2/J-+- 7) 



n- 11 11 ''=* 1.2. 3 ... p 



4 = l_ 5"*"5 _ " 2^^T T 2 -*=„ (2y + 5) (iq + 5) ... (2/> + 2? + 3) ,' 



16. Si, dans la relation générale (19), on suppose x=\, on trouve aisé- 

 ment 



;o_ i _ \" î ^n 



Plus généralement, soit x = q — -, q étant un nombre entier; il vient, 

 de la même manière , 



fâ-i-I+I- ±± = S = " -1-2.5...P 



2 5 " gr "*"*«, 2"+ , ( 9 + t)( î + 2) (qn-p+l)' 



