SUR LA TRANSFORMATION DES SÉRIES. 1 1 



ou 



Y 



= — + 2 V 



(2« -h l)(2n -+- o) 30 --, (2n -h l)(2n + 3)(2« + 5) 



En général, soient 



(—1)"-' „ -2a ■+■ -2L- + 1 



(2ra + l)(2» + 3)...(2« + 2i + l) 2» — 1 



d'où 



«- = 2^* «<<- = ■ (^ 1H-»)"-' 



2» — 1 ' " (2» — i) (2» -t- 1) . . . (2ra + 2A- + i) ' 



et, par conséquent (A) : 



y- " <-*r-' = i î (t+ i)T ( - 1) ""' 



A(2»-4-l)(2?i-t-3)...(2n-4-2fe-4-l) 2 3.5....(2fc+l) ^» (2n — l)(2jn-l)...(2n-t-2ft-+-l) 



Si Ton met encore à part le premier terme de la nouvelle série (*) , on 

 trouve, au lieu de cette relation, 



y° (-1)""' 



*>t (2« -+- I) (2m + 5) ... (2m h- 2& h- 1) 

 -» + (* + 2, 7* 



2.3.5.7..(2fc-4- 5) v ' "*t (2?i -4- 1) (2re -4- 3)...(2n-4- 2ft -4- 3)' 



ou, pour abréger, 



y = — - — + (*+ i)5 



A 2. 3. 5. 7. ..(2& -4- 3) v '■** + < 



13. Avant d'aller plus loin, observons que si l'on supposait 



(_ !)"-' 2n -4- 2a; -+- 2A h- 1 



<*; 



(2»t-t- 2x h- l)(2n -+- -2x -4- 5) ....(2m -4- 2a; -4- 2/c + 1)' 2» -4- 2a? — 1 ' 



on trouverait, sans nouveau calcul, 



(*+ i)(- i)"- 1 



M* •■- " = 



(2« + 2x— 1)(2» -4- 2a? + i). ...(2m -4- 2x + 2fc -+- 1) 



(*) Cette petite transformation, déjà employée trois fois, a pour but d'éviter les fractions à 

 dénominateurs négatifs, lesquelles, comme on le reconnaît sans peine, conduiraient à des dé- 

 veloppements peu convergents, ou même divergents. 



