SUR LA TRANSFORMATION DES SERIES. 



d'où résulte, non-seulement 



> 



*i»i « i» ! «i !'i v ,.<' + | i 



S== ~~T + A' + '" 



— - — h > m , (B) 



1 n = l 



niais encore 



= y~ ai Ui , (o 



»(*)„(*) 



pourvu que la quantité —— ait pour limite zéro. 



o. L'équation ou le théorème (B) , qui n'est qu'une extension du principe 

 fondamental (A), permet d'augmenter autant qu'on le veut, pour ainsi dire, 

 la convergence d'une série donnée ; la formule (C) modifie complètement la 

 forme de cette série et la rend, presque toujours, très-convergente. 



6. M. Leclert a imaginé une seconde transformation, souvent moins com- 

 mode que la première, mais cependant utile dans certains cas. Voici en quoi 

 elle consiste : 



Pour plus de clarté, représentons par 



!', -f- «j -t- V 3 •+- . . . -t- l'„ -t- (7) 



la série proposée, et conservons nos autres notations. Si l'on pose 



i — — — i ■ 



je dis tpie l'on aura 



«»+i "» 



*,v t 



'-.l + l l'Il+l J 



(8) 



11 > »'\ 



S = h .s A ) 



"i 



En effet , 



ou 



V v' n =■-[ KjWj + «jVj -»- — a t Vi -t- 



\", a,/ \a 3 ail \a, « 3 / 



Y v „ = 1 (*j«s — a 5 "s) ■+- — (»3V 3 — «i^j) 



Mais, d'après la formule (2), appliquée au cas actuel, 

 «2*2 — a 3 u s = ajUj, «jWa — a4t» < = a 5 v s , ; 



