SUR LA TRANSFORMATION DES SERIES 



En effet, l'équation (3) donne d'abord 



Mais (2) 





<t u » = a„ (/„ — a„j_i II 



,, + t «,,+ i } 



donc 



2* a « m « = a i "i ~~ lim *»+« "»+■' 



ou, d'après ce que l'on a supposé sur la fonction « n+t) 



etc. 



2. Lorsque le rapport ■'— tend vers une limite A moindre que l'unité posi- 

 tive, on peut prendre, pour la quantité «„, soit l'unité, soit une fraction qui 

 tende vers l'unité. Dans les deux cas, A = 1 — 1; et, conséquemmenl, 



s = +s (a) 



1 — / 



Si la série proposée a tousses termes positifs, et que le rapport '~^ ait pour 

 limite l'unité, on pourra supposer 



k„ = >i, a„ = nln, a„ = nlnlln , .. .. 

 suivant que la première des quantités 



uni n — [n -+- 1) , 



lira [nln — (n h- I) / (« + I) — — |, 



lira ïnlnlln — (n -+-!)/ (n + \) Il {n -+- 1) — ], 



qui sera positive, sera la première , ou la deuxième , ou la troisième,... de 

 ces quantités (*). 



(*) Traité élémentaire des séries, clinp. II, théorème XIV. C'est en partant de ce théorème 

 que M. Leclert est arrivé, non-seulement au principe fondamental exprimé par l'équation (A), 



