MEMOIRE 



PREMIÈRE PARTIE. 



THÉORÈMES SUR LA TRANSFORMATION DI'S SÉRIES. 



1. Considérons une série convergente 



<i 



ayant pour somme ou pour limite s, de manière que 



« = 21 "» • 



Soit «„ une fonction de n telle, que le produit a„ u n tende vers zéro lorsque n 



augmente indéfiniment, et telle, en outre, que la quantité 



ll„ = «„ — a 



n+i ' 



m 



tende en même temps vers une limite finie A, différente de zéro. Posons 



= i. 1 -t) m (3) 



Le coetficient de u n a pour limite zéro; donc, à partir d'une valeur de n 

 suffisamment, grande, il reste compris entre zéro et une quantité assignable & 

 De là résulte que la série dérivée 



n\ -+- m', -i- w' a -+-...-+- m'„ -t- •' (i) 



est convergente. Désignant par s' la somme de cette nouvelle série, je dis que 

 Ton a 



a. Il 



S 



i"i 



A 



s' n (A) 



(') Ce Mémoire a été rédigé à la campagne. Depuis mon retour à Paris, j'ai reconnu que 

 l'équation fondamentale (A) est comprise dans une formule générale de transformation, due à 

 M. Ruminer (Bertrand, Calcul différentiel, p. 2<il). Néanmoins, comme j'ignore si le célèbre 

 géomètre de Berlin a trouvé aussi les théorèmes (C), (A'), (C), j'ai cru devoir ne rien changer 

 à ma rédaction primitive. 



