20 MEMOIRE 



TROISIÈME APPLICATION. 



27. Transformer la série 



1-— + —-... ± ' — 7T (35) 



3 2 lr (Sn- If 



Ainsi que je l'ai dit en commençant , un assez grand nombre d'intégrales 

 définies se ramènent à la limite de cette série, limite qui n'a pas encore été 

 calculée. Je la représenterai par la lettre G. Après avoir essayé bien des trans- 

 formations , je me suis adressé à M. Leclert; c'est alors qu'il m'a fait connaître 

 ses ingénieuses méthodes, et qu'il en a fait l'application à la série (35). 



De 



U "~ (Vn-lf 



on tire, en supposant 



in — i 



-lu — 3 

 "" = 2 (2n+ l)(2»-3)' A ~ 2 ' K '" = (_1) "(2»-5) l 2n-Hl) ! (2«+t) ; 

 puis, après quelques réductions, 



/ IV'-' 



r_:V a, \" Lr_LL r\ (36) 



6 A (Sn - I ) (Sn - l) a (2n 4-5) 



Partant de cette première transformée, et prenant, successivement, 



2h -+- 3 „ 2n -+- 5 

 " " = 2m — 1 ' " " _ 2« — 5 ' 



on trouve ces deux développements : 



(37) 



G ._i£_ ra y- (=!£! , .... 



48 A (2« — \f (3n -+- t) 2 (2w + 5) s 



_ 2 909 _ x - (-»'-' . . (M) 



3 450 A (2m - I) (Sn -*- if (Su + ^) 2 (*• + :j )' 2 ( 2m + 7 ) 



(*) Formule trouvée par M. Leclert. 



