SUR LA TRANSFORMATION DES SERIES. 19 



25. Nous noterons encore la formule à laquelle on parvient quand, après 

 avoir multiplié par (1 -f- x)° les deux membres de l'équation (31), on fait 

 tendre x vers ( — 1). On obtient ainsi, à la limite, 



__ „„3fc-+- 1 1.2.3..../.: 



1 ~~ A ->'■ + ' 1.5.a...(2/< -t- 1) " (D ° J 



26. Revenons à la série (27), et appliquons-y la seconde méthode de 

 M. Leclert. A cause de v n = —, nous aurons d'abord, en prenant a„ = n: 



n 4 



«„ = , A = 1, v'„ = — ; 



n -+- I n (»-4- \f 



donc 



ri = ! + iy ! (34) 



A ;r 2 8 A r«(m -t- 1)1 2 v ; 



Ainsi : La somme des carrés des inverses des nombres naturels, est égale 

 h |-, plus le huitième de la somme des carrés des inverses des nombres trian- 

 gulaires. 



C'est ce qu'il est aisé de vérifier directement. 



Ajoutons enfin que, si l'on représente par S, la somme des carrés des 

 inverses des nombres triangulaires, el par S;, la somme des carrés des inverses 

 des autres nombres entiers, on a 



S, =4^- 12, S s =12— \*\ 

 ô (» 



