18 MEMOIRE 



On trouve ainsi : 



N, = 12, N 3 = 90, Ni = 560, N s = 5 IjO, N 6 = 16 652, N, = 84 084, ... 



De plus, comme les termes de la série décroissent plus rapidement que ceux 

 d'une progression dont la raison serait -j, le reste est toujours inférieur au 

 tiers du terme auquel on s'arrête. Par exemple, 



-°- i i i i i i 



> I -I -+- —H- TT7- ■+■ — " >- 



9 12 90 560 5 ISO 10 632 84 084 



TT- 111 I I 1 1 



< I -H -4- 1 1 1 1- 



9 12 90 560 3 150 16 632 84 08't 252 252' 



c'est-à-dire, à moins de quatre unités du sixième ordre, 



— = •1,096 620. 

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23. On peut généraliser la formule (30), dont le premier membre équi- 

 vaut à -2"-»} comme on a généralisé l'équation (18). On trouve ainsi, en 

 désignant par x une quantité quelconque, supérieure à — 1 : 



, . / ok -+- 5\ 

 (1.2.3 A) JC-+-- - 



•=- t _ '=- ' \ 2 / 



^L (« -t- ■'? _ T=o 2M.3.5...(2A-+ I).(l +x)-('2 + xy....{k+ 1 -+- xf ' ' ^' ) 



24. Le premier membre de celte nouvelle égalité représente, comme l'on 

 sait, la fonction -^^ • On a donc un développement de cette fonction, 

 d'une forme assez remarquable. Du reste, l'équation à laquelle nous venons 

 de parvenir, traitée comme la relation (19), conduit, non-seulement à une 

 infinité de séries ayant pour somme ~, mais encore à d'autres résultats 

 intéressants. Si , par exemple , on suppose x = — 7,elsi Ton se rappelle que 



•^i (2m — l) 2 8 



on trouve, toutes réductions faites, 



^ ^v» , , . r 1.2.3..../.- y ,_,, 



— = S 2*(5ft-i-2) (■'>-) 



4 A [ ; Ll.5.5...(2it-t-l)J 



