A DEUX SÉRIES DE VARIABLES. 71 



« S 2 est l'invariant simultané des deux droites | el 7 n . » 



14. Racine triple, sans évanouissement des mineurs. Continuons l'ana- 

 lyse du n° 11. Pour qu'une racine triple apparaisse, il faut el il suffit 

 que S 2 s'évanouisse, c'est-à-dire que « les deux droites X et U se ren- 

 » contrent » . Les deux éléments fondamentaux infiniment voisins sont en 

 situation réunie. 



15. Racine triple, avec évanouissement des premiers mineurs. Conti- 

 nuons l'analyse du n° 13. Il faut et il suffît encore, pour l'apparition d'une 

 racine triple, que S â = 0, c'est-à-dire que les deux droites \ et ^ se ren- 

 contrent. 



16. Racine triple, avec évanouissement des seconds mineurs. Remarquons 

 qu'une racine ne peut annuler les seconds mineurs sans être triple. 



En effet 



- = ïUij -^ ; \i,j, k, l = I, % 3, 4|; 



ip ij cp 



ïp 1 ijkl illjkàllji ip ïp 



C. Q. F. D. 



Si les seconds mineurs sont tous nuls, pour une racine nulle, on a 



a* = PiPj; %(x, u) = (£/,«) (SPx). 



Le connexe linéaire 2, est décomposante, cas que nous excluons, avec, 

 aussi dorénavant, l'hypothèse que les seconds mineurs puissent s'évanouir. 



17. Racine quadruple, sans évanouissement des mineurs. Continuons 

 l'analyse du n° 14. Les droites X et U se rencontrent; X est située dans le 

 plan fondamental >j où x 3 = 0. Nous pouvons donc prendre X pour l'arête 

 Xi = x 3 = (• du tétraèdre de référence et supposer (n° 9) x\ = x' 6 = 0, 

 c'est-à-dire o 42 = a ±2 = 0. Mais alors tous les mineurs H, ; ou A,, sont nuls, 

 excepté 



A 5 , = — o, 2 (a„a, 3 — aj,o, s ), 



qui par hypothèse ± 0. 



