--2 SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



Le plan u' est défini par les relations (2) du n° 9, savoir 



0„M,' ■+- a.,,!/, ■+■ H,,l/'j = 0, 



a 4 .,w 4 = 0, c'est-à-dire, puisque a 42 ± 0, 



a„«; -i- «„«j = «; = o. 



Pour l'apparition d'une racine quadruple, il faut et il suffit que le coeffi- 

 cient Si de l'équation H s'évanouisse aussi après S 4 , S 3 , Sg. Or ici 



se réduit à « 1( . Si « 41 = 0, il reste pour définir le plan m' 



a^u't = 0, 



a 21 ± 0, sans quoi A^ serait nul. Bref 



«s = «* = 0, 



V coïncide avec x t = x 3 = 0, c'est-à-dire avec X. 



Ainsi « quand il y a racine quadruple, les droites X et U coïncident; le 

 » déplacement infinitésimal A qui place l'un sur l'autre les deux éléments 

 » fondamentaux a sa directrice confondue avec sa caractéristique » . 



18. Racine quadruple, avec évanouissement des mineurs. Continuons 

 l'analyse du n° 15. Les deux droites | et ^ se rencontrent. Prenons | pour 

 l'arête = x { = a? 2 = u% = w 4 du tétraèdre de référence, d'où 



p, = p 3 = P. = o, Q, = Q 3 = Q, = 0, 



et plaçons -^ dans le plan # 2 = 0, d'où ;a, = q., = 0. Aucune des deux 

 droites | et r i ne peut être indéterminée sans que tous les seconds mineurs 

 s'évanouissent, car les trente-six seconds mineurs sont trente-six produits 



(WMPQ)* [ij, M =1,2,3,4]. 



Dans le cas actuel, S 1 = q { Q y . Or Q, ifc 0, et pour l'apparition de la 

 racine quadruple, il faut et il suffit que 



S, = 7, = 0, 

 « r t coïncide avec | »> . 



