INTRODUCTION. y 



Dans le cas d'un connexe linéaire plan, l'équation différentielle ordinaire 

 du premier ordre correspondante est l'équation dite de Jacobi (Clebseh- 

 Benoisl, note de la page 405). Je nomme par suite équation de Jacobi dans 

 l'espace l'équation <A> qui provient d'un connexe linéaire X. <&, peut donc être 

 ramenée à dix expressions canoniques pour lesquelles l'intégration est 

 immédiate. L'intersection de plusieurs connexes linéaires fournit les 

 intégrales communes à plusieurs équations de Jacobi. L'intégrale commune 

 à trois équations de Jacobi représente une surface unicursale du quatrième 

 degré qui est ou réglée ou une surface de Sleiner, etc. 



La troisième partie traite des crémoniennes. Leur classification est fondée 

 sur la nature des variétés primordiales. Voici ce que c'est : la variété 

 constituée par les éléments (x, u), où x ou u est fixe, est transformée par 

 la crémonienne en une autre variété qui, par définition, est primordiale. 

 Celte terminologie a été introduite par Autonne pour les crémoniennes 

 planes. 



La connaissance d'une variété primordiale, afférente à un point x, ou 

 à un plan fixe u, quelconque, assure la connaissance de la crémonienne. 



Je construis effectivement cette dernière pour quelques cas de primordiale 

 simple. 



Lorsque la primordiale est constituée par les éléments dont les points 

 sont sur une quadrique et les plans touchent, au point désigné, la même 

 quadrique, alors la construction de la crémonienne exige l'étude et la 

 discussion d'une forme quadratique biquaternaire. C'est ainsi que je traite, 

 accessoirement et partiellement, une autre partie du programme de 

 l'Académie. 



Un résultat qui semble intéressant à signaler est le suivant : 



Lie, examinant les transformations de contact dans l'espace ordinaire 

 à trois dimensions, c'est-à-dire entre les cinq variables x, y, z, p et q, 

 distingue trois cas. 



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