INTRODUCTION. 



soit les cinq paramètres x, y, z, p, q, soit les huit variables, homogènes 

 quatre à quatre, x t et u i} liées par lux = 0. 

 Les formules de transformation sont 



Lie use surtout des variables x, y, z, p et q; les formules sont plus 

 condensées, mais aussi moins symétriques. Sauf exception, on emploiera, au 

 cours du mémoire, les variables x, et u r Enfin on introduira les formes mixtes 

 quaternaires 



f{x t , x 2 , x 3 , x»; m„ w*, m 5 , u t ) = [\ 



m et n, degré et classe de la forme, étant les deux degrés d'homogénéité. 



L'étude des formes mixtes quaternaires conduit sans doute à des recherches 

 analogues à celles des questions planes I, II, III énumérées au paragraphe 4 

 ci-dessus, mais les faits mathématiques plans prennent dans l'espace une 

 complication et une ampleur plus grandes. 



Trois points de vue différents peuvent être développés. 



Algèbre : s'attacher surtout aux formations invariantes, covariantes, 



des systèmes de formes mixtes (problèmes analogues à ceux des pages 335 

 à 351 de Clebsch-Benoisl) avec ou sans la notation symbolique. 



Géométrie : s'attacher surtout aux figures, lieux d'éléments, représentées 

 par l'évanouissement d'une ou plusieurs formes mixtes (dans le sens des 

 pages 351 à 379 de Clebsch-Benoisl). 



Calcul intégral : s'attacher surtout aux équations aux dérivées partielles, 

 qui s'introduisent à l'occasion des connexes de l'espace (dans le sens des 

 pages 379 à 398 de Clebsch-Benoisl). 



Pour ne pas donner au présent mémoire une longueur exagérée, je mets 



