30 SUR UNE CLASSE DE FONCTIONS QUI SE RATTACHENT 



Par suite, en vertu de la relation entre les nombres d'EuIer, 



(«) . . E . m+| - (**) E 2 .„ 1+ i + (*') E t . m+ i ...+(- !)'■ Q) E^ n = (- 1)'Q„ 



formule qu'on pourrait aussi trouver en parlant du développement de la 

 fonction 



/"'«* ■+- e- 2 ' 1 

 -dx. 

 (e 1 — e-'f 







La propriété exprimée par l'équation (41) apparaît ici manifestement; 

 on sait, en effet, que les nombres Q m + i , Q m +2, • • • sont identiquement nuls. 



Les nombres B 2< _ 1>m+i dépendent linéairement des nombres de 

 Bernoulli. Pour le montrer, substituons, dans l'équation (4-2), les valeurs des 

 nombres E 2 , , m + ±, déduites de la relation (38); on a 



-r;>[-rrh*rr , )«--*H.rc = 3^] 



/2» -+- 1 , 

 ( " 1)M ( 2„ 



2 



, „ /2t — 2/tt + 1 \ 1 



-l-'H 2. ) Q l'-( 2 )*. — -(-')'-( 2 ,._ 2m Je,,*.} 

 ou, en changeant i en i — 1 , 



(44) . . 4'(4 1 -1)fP î .. ) , m+ i = 4'(4'-t)Q„B îl . 1 + (^4'- , (4'- , -i)Q 1 B Sl . ! -f-... 



( 2 2 J^ m (4'-"-l)Q m B 2J _ !m _,. 



