AUX FONCTIONS DE JACQUES BERNOI Ll.l. 19 



dite, les nombres E% tP+a seront des fonctions entières et linéaires des 

 nombres E 2 , p . 



Deux cas particuliers, intéressants à étudier, sont ceux où p est égal à m 

 ou m + -, m étant entier. 



5. Premier cas. — Nous déterminerons d'abord les nombres E 2 ,,„, ou 

 plutôt les nombres B 2l _ 4jm . Nous savons que, à part un facteur constant, 

 ces nombres E 2îm sont égaux aux puissances successives de q dans le 

 développement de la fonction eulérienne de première espèce, suivant les 

 puissances entières et croissantes de cette variable. Nous allons montrer que 

 ces nombres B 2l _ 1 m s'expriment linéairement au moven de ceux de Bernoulli. 



En effet, on a, pour p = m, 



T(m + q)T[m — q) (!' — q*) (2* — ç») (3* — q*) ... (m — 4" — q 1 ) *q 



r(2m) 1.2.3... (2m — i) sin*q 



Soient, en outre, 



( 1 «— 9 s>(2'_gr»)(3»— g') ... <^T=Î*— 9 *) t 7 2(2-1) , 8(2" '-l) p 



1.2.5 ... (2»i — 1) siiiTf/ 1.2 1.2.5... 2e 



(1»_ ? «)(2'— 9 «)(3'- ? »). .(m^r-g») „'</' »*,« « **" V" * 



1.2. 3. ..(2m — 1) 1.2 1.2.3.4 1.2 3...(2m— 2) 



*■</ 2(2—1) 2(2*'-' — I ) 



sin tu/ 1.2 1.2.5 ... 2; 



Ici, 



r*(m) _l*.2 , .5*...m — 1 



r(2»n)~ 1.2.3...(2m— 1)' 



De ces développements, on conclut aisément la relation fondamentale 

 suivante : 



(27) (2*-'-l)B„_ l ,.=(2«^'-l)Q B s( _ l +( 2 2 , )(2''- s -t)Q l B^ ll +...+(^)(2*-*-«_l)Q,B w ^. I -f-.. 



Nous convenons que B_, est égal à — 1 et que les nombres Q m , 

 Q,„ + ,, . . . sont identiquement nuls. 



