18 SUR UNE CLASSE DE FONCTIONS QUI SE RATTACHENT 



au moins le même degré de convergence que la série formée par les inverses 

 des carrés des nombres naturels, si ^ est inférieur ou tout au plus égal à 

 2/ + 1. En conséquence, cette série sera absolument convergente pour 

 toutes les valeurs de p, satisfaisant à la condition 



2/>< 



2* -+- i. 



De la même façon, on prouverait que la série S i + I est absolument 

 convergente pour toutes les valeurs de 2/>, inférieures à 2< -j- 1. 



Ainsi, pour toutes les valeurs de p, comprises entre et i -f- 4? exclusi- 

 vement, les deux séries Sg, + â, S 2t+1 représentent des fonctions analytiques 

 n'ayant aucune discontinuité polaire dans l'espace, limité, d'une part, par 

 l'axe des y et, d'autre part, par une parallèle à cette droite, menée à la 

 distance i de l'origine. 



Nous venons de dire que ces relations (15) et (16) sont vraies pour toutes 

 les valeurs de ;;, comprises entre et -; elles subsistent donc pour toutes les 

 valeurs de la variable, situées dans l'intervalle (0, /'). Nous voyons aussi que 

 l'aire de convergence grandit sans cesse avec le nombre i. 



Il n'est pas inutile de faire observer que les séries 



2 



— 2/A 1 



k ) (p -+- />)"+' 



* 1 



deviennent divergentes quand p est égal ou supérieur à i + - r 



On ne pourra donc plus représenter le nombre E 2l p par ce développe- 

 ment; mais l'intégrale 



/ 



u dx 



(e* -*- e-") 4 " 



conserve, quelles que soient les valeurs de p et de i, une signification 

 précise et déterminée, et il en ira donc de même des nombres E 2 , p , qui 

 font partie des premiers membres des équations (15) et (16). En outre, on 

 pourra toujours exprimer ces nombres, aussi bien que les nombres B 2l -_ 1>;) , 

 au moyen de l'équation (25), en fonction des dérivées successives de 

 logT (p). Au surplus, si a est un nombre entier et /; une fraction proprement 



