14 SUR UNE CLASSE DE FOiNCTIONS QUI SE RATTACHENT 



Si p = \, les nombres \ l + i ,,, et E 2 , ; , deviennent ceux de BernouIIi et 

 d'Euler, et l'on a 



(23) 0=t-^)E. 1+ (^E t ... + (_1)'E,. 



L'équation (23) est la relation classique entre les nombres d'Euler, et 

 l'équation (22) est une relation connue entre les nombres d'Euler et de 

 BernouIIi (*). On les trouve directement par la comparaison des développe- 

 ments : 



x 1 x l , w x" 



cos x = 1 1 ••• ■+■ ( — IV - 



1.2 1.2.5.4 v ' 1.2.3...2» ' 



X X' X 



sin x = x h — •■ -+■ ( — 1 V ■ 



jus i n s i K v ' 



1.2.5 1 .2.5.4.3 v ' 1 .2... (2e'-t-t) ' 



1 x ! x* x" 



= 1 ->- E, h E, -t- Ej, , 



cosx 1.2 1.2.5.4 1 .2.5... 2i 



4(4 — 1) 4'(4 S — 1) , 4 , + l (4 1 +' — I) 



tgx = -i B,x -4- — i B 3 x J -*-•••-»- 1 : — B, (+1 x" + ' -t- ••• 



6 1.2 1.2.5.4 1.2.3...(2i + 2) + 



Si l'on fait /? = 1 dans les équations (20) et (21), on retombe sur les 

 relations (9) et (10), puisque 



&H4.I-* A,, , = — B,,.,, E 2 ,, , = - (2""' - 1) B î( _,. 



Les relations (20) et (21 ) peuvent encore se mettre sous la forme suivante : 



!4<+<(4' + '— 1 ) r\») /2i-f-l\ !2i+i\ 



^-^T-'^-^m'-l 2 )2(2-1)B,^. .-.(-!)'( 2 . )2(2--l)B S( _, p , 

 r 2 fn) /2A /2A /"A 



(*) Raabe, loc. cit. 



