AUX FONCTIONS DE JACQUES BERNOULLI. H 



Si p = z 2 , la première de ces formules se réduit à celle de Plana; 

 et, pour p = 1, on a, pour l'expression des nombres de Bernoulli, l'intégrale 

 définie 



""' = 2(2 2 -'— \)J (c T « + <r™f 



2(2 2 -'— 1),/ (e™ + e-™) 







Si, comme nous l'avons supposé, 7 est inférieur à p, le second membre de 

 l'égalité (42) constitue une série absolument convergente. Effectivement, 

 l'intégrale 



z v dz 



f 



est inférieure à 



ou à 



/" e-"'z u dz, 

 1 . 2.3...2i 



* 



Donc cette série a ses termes inférieurs à ceux de la série absolument 

 convergente 



m 



et, par suite, elle est elle-même absolument convergente. 

 Dans les mémoires déjà cités, nous avons montré que la série 





(/) -+- k)9 



(p + kY-q* 



est absolument convergente, si p est inférieur ou égal à ~. Le développe- 

 ment de chaque terme de celle série, suivant les puissances entières et 

 croissantes de q, nous fournira de nouveau un tableau à double entrée. Éva- 

 luons encore la somme des termes du tableau par lignes verticales; il viendra 



-B(p + ?,p- g)—!?- = S -t- S,g* + S t r/ +...-+- S 2 , 9 5 ' -+-•••. 

 2 q 



