AUX FONCTIONS DE JACQUES BERNOULLI. 9 



CHAPITRE II. 



GÉNÉRALISATION DES POLYNÔMES DE BERNOULLI. 



2. Reprenons la formule (8) : 



1 r (p -t- q) r (p — q) sin qO *S°/— 2p\ sin(p -+- k)d 

 7 2~ T(2p) ~J~ = à \ k /(p + fc) 1 — / 



p est un nombre positif qui ne surpasse pas -, el 8 est un arc compris entre 

 — 7T et + 7T. (/; est d'ailleurs supérieur à r/.) 



La série du second nombre ne cesse pas d'être uniformément convergente 

 pour les valeurs de p supérieures à - et inférieures à l'unité. Elle le reste 

 encore quand p atteint celle limite. 



Ainsi, pour /?=!, on a 



7r sin«4 si n sin 25 sin 39 



■2- --+- 3 -.-• 



2 sin 777 1'- — q* 2* — ç a 



Seulement, e doitèlre inférieur à -k en valeur absolue. Au moyen de cette 

 série, on pourrait aussi obtenir l'expression des polynômes de Rernoulli. 

 On sait que 



r(p + q)T(p-q) S* a 



/' a' 4 -'-' -i- a;'-'-' , 

 dx; 

 (I -+- x) 8 ' 



l'(2p) ^/ (I -t-x) 5 ' 



d'où, par la subslitulion, 



x = e , 





r(2 P j * dz 



et 



r( P -4- 9 )r(p - 9 ) ^'y 7 



ï[lp) S>\ • 2 . 5 







/ ,0 ° * ! V/z 



Tome L1X. 



