AUX FONCTIONS DE JACQUES BERNOULLI. 7 



Évaluons maintenant la somme des termes du tableau par lignes verticales; 

 nous aurons 



TO COS 09 „ „ 



-1 -=t -4- 2S,q' -t- 2S,q' -+- • • • -t-âSfcû"-*- .... 



sin to 



si nous désignons par S. 2l la série absolument convergente 



cos 9 cos 29 cos 39 , cos ko 

 , (_ \) k . 



1* 2 5 ' 5" A 2i 



Par suite, 



1 -*- 2S 4 q* + 2Sjg' -+• . .. -+- 2SM0' 1 + • • • 



(2-1) (2 2, '-'-1) q 2 9* qV qV 



= (1-4-2- 'B (! rY+...+2; B„_,;rV'--)(1- — - t-— -+-(-!)' — )• 



k 1.2 4 ' 1.2.3 ...2» ' M 1.2 1.2.5.4 v ' 1.2.5...2i ' 



Les deux facteurs du second membre sont des séries absolument convergentes; 

 il s'ensuit que, si l'on effectue le produit des deux séries qui figurent dans 

 le second membre de l'équation précédente, et qu'on ordonne le produit pat- 

 rapport aux puissances de q, on reproduira identiquement la série contenue 

 dans le premier membre. En changeant e en n Q et en égalant de part et 

 d'autre les coefficients de q 2i , on trouve 



«_ !! 2 (2— 1) B/- 5 -t- PW - 1) B,9 2 '-« • •• + (- 1)'2(2 2, -'-1) B»,., 



1.2.3... 2i'f? „cosAt9 



= 2(-ir — i { - ir ^—. 



Si, dans cette équation, on fait e = 1, on a, entre les nombres de 

 Bernoulli, la relation connue 



(9) 1 - Q l )2(2-1)B, + f^W-l)B a h- (- 1/2(2"-- l)B î/ ., = (- 1)'+'4'B 5 ,_„ 



puisque 



1.2.3 ...2i(\ 1 1 \ 



Remplaçons dans celle équation (A) i par i + 1, prenons la dérivée des 



