AUX FONCTIONS DE JACQUES BERNOULLI. 



D'autre pari, Poisson a trouvé le développement suivant : 



(7). 



COS </9 



sin xg 



.= 2? 



COS 9 



cos 29 



COS 



3 



>s 59 



=7 2 "T 



et, dans deux mémoires (*), nous avons donné la formule 



(8). 



1 r (p h- g) r (p — g) sin ge __ ^° 



r(2p) 9 ^ 



2 



-2p\ sin(p -+- /i-)s 

 k I (p + A) s — q* 



Or, on déduit aisément de In relation (7) les polynômes de Bernoulli, et 

 le même procédé de calcul, appliqué au développement (8), conduit à une 

 généralisation de ces fondions. Les coefficients de ces nouveaux polynômes 

 seront, en général, transcendants et ne deviendront rationnels que moyen- 

 nant certaines conditions. Alors, dans ces cas particuliers, ces polynômes 

 s'exprimeront linéairement au moyen de ceux de Bernoulli. 



Nous terminerons ce travail par l'étude de quelques propriétés de ces 

 fonctions qui sont analogues à celles dont jouissent les polynômes de 

 Bernoulli. 



CHAP1TBE PBEMIEB. 



POLYNÔMES DE BERNOULLI. 



1. Dans un travail publié dans le Journal de Crelle (**), Baabe, pour 

 arriver au développement de la fonction de Bernoulli en série trigonométrique, 

 choisit, pour point de départ, la suite connue 



*S° sin k$ 

 8 = w - 2 .2-T- 



(*) Sur l'intégrale eulérienne de première espèce. (Annales de l'École normale, 3 e sér., 

 t. IX.) — Sur l'intégrale eulérienne de première espèce. (Mémoires couronnés et des savants 



ÉTRANGERS PUBLIÉS PAR L'ACADÉMIE ROYALE DE BELGIQUE, t. LUI.) 



(**) Zurùckfùhrung einiger Summen und bestimmte Intégrale auf die Jacob Bernoullische 

 Functionen. (Journal de Crelle, t. XLIII.) 



