4 SUR UNE CLASSE DE FONCTIONS QUI SE RATTACHENT 



par les inverses des puissances des nombres naturels, les relations suivantes : 



(2). 



111 1 



,M+I 



1 2,+l 3 2,+1 5 2 ' +1 4 i+l 1 . 2. 3...2î 



E, 



i i i a 2 -* — i 



1 ' i 2 ' 2® y 1.2. 5.. .2t 



A un certain point de vue, on peut considérer les fonctions 



r (p +■ q)T(p-q) 



T[fp) 



dx 



(e* — e-*) 5 ' 



comme une généralisation de ces trois fonctions élémentaires. Pour 

 p = 4, elles se réduisent à ^£— et n tg^n; si /? = 1, l'intégrale 

 eulérienne de seconde espèce devient -P—, et la seconde intégrale équivaut 



1 sin t<i ej i 



à n^r. Nous écrirons donc : 



T{p + q)T{p-q) r 2 (p) 2(2-1) 2(2"-'- I) 



( ' T(ip) r(2p) 1 .2 •' ' 1 .2.3...2t '' ' 



(5). 



• V-e" 2 '' 4(4 — 1) £Bi.„ , 4«(4* — !)&,, 



2 sin ,ott / rfr = - nq h *'q" 



J (e* — e-*) 2 " 1.2 ' 1.2.3.4 ' 







4' (4 1 - 1) 



-T $*-..„ **?' 



2i~2i-4 



Comme ceux d'Euler et de Bernoulli, ces nombres se présentent dans 

 l'expression de la somme de deux séries absolument convergentes, savoir : 



J 5° 1 I 4'(4'— 1) 



£ l ' ik (p + k)* SsinpT 1.2.3... -2i "'■'■ 



| o (- 'HW^-^^^xo;/^ 



Le nombre /> est positif et inférieur ou égal à l'unité, et [^p]t représente 

 le coefficient binominal 



2/) (2/i -t- 1)... (2p 4- k — 1) 

 1 .2. 3. ..A: 



