A DEUX SÉRIES DE VARIABLES. 55 



c'est-à-dire 



_ DX/ — ifXf 



(i ) — Sw» — = Eu, — = £u,x, ; 



s el t sont les deux paramètres de qui dépendent les coordonnées de l'élément 

 couranl sur <Ê 2 . 



45. Supposons d'abord que s et / figurent effectivement toutes deux 

 dans les x, el les u,-. Alors a? décrit une surface 2Ç,; u enveloppe une sur- 

 face 16. Les relations (i) du n° 44 expriment simplement que les surfaces 

 "X et 16 coïncident ensemble (soit T leur nom commun) et que la variété € 2 

 est constituée par les oo 2 éléments adhérents (n° 12) à T. <£ 2 comporte 

 oo- points x (ceux situés sur T) el oo 2 plans u (ceux tangents à T). 



Dans le déplacement infinitésimal A (chapitre III) imprimé sur € 2 à 

 l'élément (x, u), les deux indicatrices X et U sont deux tangentes conju- 

 guées de la surface T en x. 



Si l'on voulait que X el U coïncident dans les conditions du n° 32, il 

 faudrait que x se déplaçai sur T suivant l'asymptote de la conique indica- 

 trice de Dupin. X et U coïncideraient avec cette asymptote. 



Le présent cas sert évidemment à lui-même de contre-partie dualislique. 



Notons que la surface T ayant oo 2 plans tangents n'est point développable. 



46. Supposons que /, par exemple, manque dans x r x parcourt une 

 courbe C. Les équations (1) du n° 44 expriment que le plan u passe par 

 la tangente en x à C. Ainsi « <Ê 2 est constituée par les oo 2 éléments adhérents 

 » à la courbe C ». <S 2 comporte oo points (ceux de C) et oo 2 plans (ceux 

 tangents à C). 



Dans le déplacement A, la droite X esl la tangente à C en x; la droite U 

 dépend du choix de A. 



Si l'on voulait que U coïncide avec X, le plan u envelopperait (n° 33) 

 un fragment de la développable dont C est l'arête de rebroussement. 



47. La contre-partie dualistique du cas ci-dessus est la suivante : 



/ manque dans les «,. Le plan a enveloppe une développable D. « <Ê 2 esl 



