54 



SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



(0') 



Cela revient, en définitive, à supposer que \ et X 5 manquent dans Q. 

 Q 4 = = Q s == et il vient 



«P, . PQ, = />*, 

 aP, -+- (5Q, = pA, 



a p s + PQ S p 



aP ( = aP B = 



Si « = 0, on déduirait les quatre relations 



P = Q (A„ A„ A 5 ) = Q, + A 4 Q 3 = Q, + A 8 Q 5 = 0, 



dont au moins trois distinctes. La variété ne pourrait être à trois dimensions. 

 Si a ± 0, P 4 = P 5 = 0, et l'on aurait les trois relations 



P(A„ A„ A 3 ) = Q(A„ A 4 , A, 



= 0. 



Les deux premières sont distinctes par hypothèse; la dernière, contenant 

 X } et \, est distincte des deux premières. La variété ne serait plus à trois 

 dimensions. 



On pourrait objecter que ). 4 et l & manquent éventuellement dans le déter- 

 minant à cause de l'évanouissement de la matrice 



p, p 2 Pr, 



Q, Q* Q 5 



= u. 



Mais alors rfQ serait proportionnelle à dV et les deux relations P = Q = 

 ne seraient pas distinctes, ce qui est contre l'hypothèse. 



Bref la supposition s = 3 est absurde. C. Q. F. D. 



Nous passerons donc à l'élude des variétés intégrales C, à deux dimensions. 



44. Soient x t et itj les coordonnées courantes sur €.,. On a par définition 

 et hypothèse, s et t étant deux paramètres variables, 



Xj = x,(s, t), M( = u,(s, t, ; 

 Zu,x, ■= 0, 2u,dXi = ris Zu t — '- -t- (Il 2m ,- — = 0; 



i i i iS i H 



