52 SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



CHAPITRE IV. 



variétés intégrales; équations aux dérivées partielles. 



41. Nommons variété intégrale loule variété telle que deux éléments 

 infiniment voisins quelconques de ladite variété soient toujours en situation 

 réunie (n° 31). 



Appelons €, une variété intégrale à s dimensions. 



Il est évident que s < 5, car la variété à cinq dimensions est l'espace 

 lui-même, lieu des éléments (x, u). 



42. « On ne peut avoir s = i. » 

 Soient 



A, = x A 2 = y A 3 = z, A, = p X s = q 



les cinq coordonnées non homogènes de l'élément courant sur <£ 4 , supposée 

 existante. Les \ (/<• = 1, 2, 3, 4-, 5) sont les coordonnées définies au n° 10. 

 La condition Zudx = de la situation réunie devient 



= prix -+- qdy — riz = h i d\ { -+- A„dA s — dA 3 . 



Par hypothèse s = 4-, les /,, sont liées par l'unique équation 



P(A„A„ ..., A 8 ) = P(A) = de€«. 



On doit avoir par définition 



dP = 2 P t dA 4 = p (X t dX t ■+- A 5 dA 2 — rfA s ), 

 t 



5P 



d'où 



p, = pa, ; p 2 = pV, P 5 = — •; p. = p> = 



P ne contient ni h t ni X 3 , et l'on a 



(0) P, -f- A 4 P, ^ P 2 -+- A S P, = 0. 



