A DEUX SÉRIES DE VARIABLES. 51 



Un calcul analogue à celui du n° 35 fournit les relations 



(la Swf -4- dr £xtf = 

 da SA§ +- f/r2oJl»if = 

 da 2B£ -+- dr 2$» = 

 2e§ = 2</, =0. 



Il y a donc correspondance bilinéaire entre le point £ et le plan >j. 

 La connaissance de Tune des indicatrices X ou U entraîne la connaissance de 

 l'autre. Il y a go 2 directions d'avancement. C'est le cas du n° 23. 



39. Lorsque l'élément (x, u) se meut à la fois sur trois connexes 3, $, C, 

 c'est le cas du n° 24, x se meut sur la surface X (je n'écris plus X comme 

 au n° 24 pour éviter l'ambiguïté) et u enveloppe la surface % (surface U 

 du n° 24). Nommons v le plan tangent à X, en x et y le point où le plan u 

 touche %. X est évidemment située sur v et U passe par y. 



Quand x se meut dans v suivant la direction X, y décrit un fragment de 

 courbe ïj tracée sur U. L'indicatrice U est la conjuguée (dans la conique 

 indicatrice de Dupin au point y de la surface %) de la tangente à y. 



La connaissance de X entraîne celle de U et réciproquement. « Il y a 

 go directions d'avancement. » 



40. Si l'élément (x, m) se meut sur quatre connexes 31, ê, C 2), on a 

 vu (n° 25) que x parcourt une courbe x tandis que u enveloppe une déve- 

 loppable m. Il est évident que X est la tangente de x, tandis que U est la 

 génératrice de la développable. « Il n'y a plus pour le déplacement A de 

 » l'élément (x, u) qu'une seule direction d'avancement. » 



N. B. Pour ne pas compliquer la terminologie, j'ai supposé dans la 

 troisième partie que les mots « direction d'avancement » désignaient non pas 

 le système des quatre rapports des cinq différentielles clk k du n° 28 (comme 

 dans le présent chapitre), mais bien le système des cinq différentielles elles- 

 mêmes. Il y a alors pour un élément (a?, u) cinq directions d'avancement 

 linéairement indépendantes. 



De môme dans la troisième partie, je réserve plus particulièrement le nom 

 tf indicatrice à la droite X. U prend alors le nom de caractéristique. 



