ii SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



CHAI'ITUE 111. 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE DES CONNEXES. 



28. Envisageons dans l'espace deux éléments infinimenl voisins (x ; n) 

 el [x -f- flx; u -f- rf«); nommons : 



à, le déplacement infinitésimal qui fait coïncider le premier élément avec 

 le second; 



X, la droite qui joint les deux points x el x + dx; 



U, la droite suivant laquelle se coupent les deux plans m el u -t- du. 



X el U seront dites les deux indicatrices du déplacement A. 



La position de l'élément [x, u) dans l'espace dépend de cinq paramètres, 

 par exemple les cinq coordonnées l k du n° 10. En vertu de A, l k prend 

 l'accroissement dl k ; les quatre quotienls de quatre différentielles dl k par 

 la cinquième déterminent la direction d'avancement que suit (x, ») dans le 

 déplacement A. 



11 y a ainsi, à partir d'un élément quelconque de l'espace, oo' directions 

 d'avancement différentes. 



29. Quels renseignements procure sur A la connaissance des deux 

 indicatrices X el U? Pour nous donner 



X, fixons le point £, de coordonnée;. £,-, 

 où X perce le plan de l'infini (n° 3) 



:r,, = Sex = 0. 



On peut écrire 



U, fixons le plan *, de coordonnées >j,, qui 

 passe par U et pir le point de l'infini n° 4) 



</„ = S(/M = 



dx; = cj'i -+• %i'la, du,- = pu, »- 1,'lr, 



et, sous le bénéfice des relations 



;r =4, dx = Q, m =I, ''« = 0, ç =0, >fo = 0, 



il vient « = 0, /3 = 0. Ainsi 



dXj = l,da, dtli = if.rfr. 



