40 SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



Voici en quoi le théorème consiste : 

 Soient deux formes biquaternaires 



ip m -+• n 



,p m + ns e( ,« »n 



dont aucune n'admet de diviseur en x, seulement. La surface f(%;y) = 

 est supposée irréductible et située tout entière sur la surface 



F(x;y) = 0. 



Je dis que 



(Y H\ 

 ), avec S — « == l'entier positif y. 

 x; y ) 



La forme quaternaire f(x; y) doit diviser la forme quaternaire F(x- y). 

 On a donc, par simple division de polynômes et après suppression des 

 dénominateurs, 



X'(x)F = /P; P = forme hiquaternaire. 



X' étant une forme simple quaternaire en x i} sans y t . 

 Biffons encore, de part et d'autre, tous les facteurs communs à X' et à P. 

 Il restera modifiant légèrement le sens de P, 



xf = /p. 



Je dis que X est une constante. 



Soit en effet X un facteur irréductible de X. Pour X = 0, on a : 



Ou bien f(x; y) e= 0, tous les coefficients de la forme quaternaire 

 /"(?> y) en y* sonl nu ' s P our X = 0, c'est-à-dire divisibles par X ; X 

 diviserait f, ce qui est contre l'hypothèse; 



Ou bien P(x; y) == et X diviserait de même P, supposition exclue. 



Ainsi X est une constante; les x t figurent dans P à la dimension 

 /3 — « = y, les y t figurent à la dimension n, 



C. Q. F. I). 



