38 SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



Divisons le polynôme u™f, de degré m, en a? 4 par le binôme, du premier 

 degré, en a? 4 



a = «4X4 + tl t X, ■+- UjX s -4- w 3 x 3 ; 



il viendra 



wr/"= " p -+- R fo, a 's> *»? «}• 



V x ; ul 



Pour un élément quelconque de Pespace, on doit avoir R = 0. 



Or, on peul se donner arbitrairement u u u. 2 , u :i , i^, x u a? 2 , x A et définir x A 

 par la condition 



w,r, ■+■ m^Xo ■+- «3X3 



— T, = 



"» 



Bref, la forme ternaire R(# l5 x iy x :i ; u) est nulle, quelles que soient 1° les 

 variables indépendantes x u x» et x 3 ; 2° les coordonnées u t du plan m. Tous 

 les coefficients de la forme ternaire sont nuls et il vient R = 0. 

 Il reste ainsi Y identité 



u'I ne peul diviser w et divise la forme mixte P et Ton a P = u'"Q, d'où 



/■=«Q, 



C. Q. F. D. 



18. En vertu de ce qui précède, « pour que deux formes mixtes soient 

 » égales dans le calcul des éléments (a?, u), il faut et il suffît que la différence 

 » des deux formes soit divisible par a> ». 



Une même forme f est susceptible d'une infinité d'expressions différentes 

 toutes équivalentes 



/ + «p, 



P = expression quelconque. 



« J'étudierai seulement celles des propriétés des formes mixtes qui sont 

 » indépendantes du choix arbitraire des facteurs P de u. » 



Ces propriétés que je nomme permanentes ont seules de l'intérêt au point 

 de vue géométrique. 



