A DEUX SERIES DE VARIABLES. 131 



Il en résultera que les deux courbes v et x ont a/3 [a + /3) points communs. 



Cela posé, la courbe a perce la surface (3) en (« + /3) [(« + /3) 2 — a/3] 

 points. Comme t est sur (3), il y a, parmi ces points, les a/5 (« -f- Z 5 ) points 

 communs à a et t, puis 



(a + p)[(« -t- p)» - «S] - a(î(a + p) = (a + |3)(« 2 + fl 



autres points. Pour ces derniers, ils sont situés sur les six surfaces (4), ..., 

 (3') et répondent à la question. C. Q. F. D. 



Reste à montrer que les points sont sur a. il n'y a, en général, aucun 

 motif pour que (3') passe par les points multiples de z. Si donc est mul- 

 tiple sur la courbe A 42 ci-dessus [intersection de (1) avec (2)], sera aussi 

 sur a. Or, est multiple sur A i2 , car les deux surfaces (1) et (2) se touchent 

 en 0, puisque les coordonnées des plans tangents sont respectivement 

 = 4,2,3,4) 



DB, ïA t 



A, B,— pour (1) 



DB, ja, 



A, — — B,— pour (2) 



et que, étant sur (3'), on a A 4 B 2 — A 2 B 4 = 0. 



112. « Un connexe de classe un et de degré a a (4 + «) (4 -f- a 2 ) 

 » points fondamentaux. » 

 Soit le connexe 3 



SJ = £w,A ( y=fO. 



Raisonnons comme au n° 1. Pour un point fondamental x, la droite X 

 doit devenir indéterminée et les A ; sont proportionnels aux x,. 



11 suffit donc dans la démonstration du n° 111 de faire B f = x lt 

 c'est-à-dire (3 = 4. Il y a bien (4 + «) (4 + a) points fondamentaux, en 

 général. C. Q. F. D. 



113. Passons au système de deux connexes 3 et Q de degrés a et j8 et 

 raisonnons comme au chapitre V. 



