84 SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



CHAPITRE IV. 



EQUATION DE JACOBI DANS L'ESPACE. 



30. Soil un connexe linéo-Iinéaire de Clebsch, c'est-à-dire plan, 



U(A, ■+- m 2 Aj -*• « 3 A 3 = 0, 

 A, = cr^x, -+- OjjX, -4- a,- 5 x 3 . 



Faisons 



x 3 = t x 2 = y x, = x , 



u, = — /) m 2 = \ m 3 = ;;x — t/ , 



c'est-à-dire, revenons aux coordonnées non homogènes (x,y,p) du plan. 

 L'équation différentielle ordinaire dite « de Jaeobi » 



— p(a u x -t- a^ij + o„) 



-i- (t/ 21 x -+- a 32 y -t- a S3 ) P = ~r 



clx 

 -+- (px — ?/) (a-,x -t- a 32 y -4- a 33 ) = 



s'intègre au moyen de la réduction du connexe plan à ses formes cano- 

 niques (*). 



31. Prenons maintenant le connexe de l'espace 



% (x„ Xi, x 3 . x 4 ; m„ ?< 2 , m s , ;/,) = %{x; u) = 



et envisageons (voir n° 57 de la première partie) l'équation linéaire aux 

 dérivées partielles du premier ordre 



%{x, y, z, \;p, q, — \, z —px— qy) = 0, (A) 



5z Sz 



p = — > 7= — 



5x 3x 



(*) Clebsch, Leçons sur la géométrie, traduction de A. Be.noist, t. III, pp. 405, 430 et 

 suivantes. 



