138 



SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



<S> t j devient 



(pqr n ) s (PQu),.. 



Pour l'évanouissement simultané permanent des seize mineurs <b ip il faut 

 que (PQu)j = 0, Q } = «P, + /Su,-; alors 



ou, simplifiant récriture, 



(i) 



fv = P ,(Pi *■ *?i) ■+" P<7<", 



^P, -4- f,tf,, 



formule permanente. Dans ce cas, tous les mineurs de tous les déterminants 

 de S 9 | s'évanouissent simultanément. On s'en assure aisément. Par exemple, 

 sur 



*, 



Réciproquement, supposons que tous les cinq déterminants de \<f\ aient tous 

 leurs premiers mineurs nuls. 



D'abord, puisque $,, = 0, <f tj = p t Pj -f- </,Q 7 - Appelons IL. le plan I^tj = 0, 

 lj = coordonnée courante. Les quatre plans n, passent par la droite PQ, 

 intersection des deux plans IP,/, = iQjfj = 0. Cela étant, si tous les mineurs 

 du déterminant $„ par exemple, sont nuls, le plan u doit passer par la droite 

 PQ intersection commune des trois plans IL 2 , n 3 , ll 4 . Bref, Q, = aP ; + /3m,- et 

 l'on retombe sur la formule (1). 



Ainsi « l'évanouissement simultané de tous les premiers mineurs dans 



» tous les cinq déterminants de \f\ est la condition nécessaire et suffisante 



» pour que l'on ail 



?v = P( p j ■+■ «.'V » 



23. Il est inutile d'examiner le cas où tous les seconds mineurs de $ sont 

 nuls simultanément. En effet, alors, <p„ = /;,P, et, à cause de la permanence, 



ce qui est absurde. 



i i 



