162 SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



Attribuons à l'élément (x, u) des coordonnées non homogènes x, y, z, p, q 

 et supposons qu'elles soient nulles toutes les cinq pour PélémenI fondamental 

 (.x' , u ) lui-même. Alors y, et ty, deviennent des polynômes \(x, y, z,p, q) 

 et \>,(x, y, z, p, q) avec 



X,(0, ..., 0) = 0, ou P,(0, ..., 0) = 0, on X,(0, ..., 0) = P,(0, ...,0) = 0. 



Les y, et v„ liées par lyv = 0, peuvent être envisagées comme les coor- 

 données homogènes d'un point dans un espace à cinq dimensions. 



Or, le problème résolu par Aulonne est le suivant : 



Prenons dans un espace E N , à N dimensions, les coordonnées homogènes 

 £,(/ = 0, i } ...,N) d'un point |. Prenons aussi dans un espace E, à 

 r dimensions des coordonnées t { Çi = 1, 2, ..., r). Supposons que l'on ait 

 enfin p = fadeur de proportionnalité, 



P ê,. = F,(*„...,t r ), }r< N{, 



les F, étant des fonctions régulières pour |/,| assez petit et nulles quand tous 

 les t s'évanouissent. Le point £ de E N sera limage du point t, ayant dans 

 E,. les l t pour coordonnées. 



29. Quelle est l'image du point t où tous les / sont nuls? Celte image 

 sera par définition le point | , limite vers laquelle tend £, quand / tend vers t . 

 £ n'est pas unique et dépend de l'itinéraire M, suivant lequel / tend vers t . 

 L'ensemble des points £ constitue une variété Q a , à a dimensions, située 

 dans l'espace E N . Aulonne enseigne à construire Q a et démontre que 

 « a ■£ r — 1 ». 



30. Noire problème actuel n'est que le problème d'Autonne, pour 

 N = r = 5, où les fondions régulières F, sont des polynômes, ce qui ne 

 peut que simplifier les calculs. 



Nous ne construirons pas les variétés fondamentales, ce qui serait assez 

 long et n'est pas l'objet principal de ces recherches. On pourra toujours, sur 

 une crémonienne donnée, appliquer le procédé d'Autonne. Je retiendrai 



