A DEUX SERIES DE VARIABLES. 



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Comme on n'a pas « = /3 = «/) -f- fiq = 0, la matrice 



(3) 



= 



pour tout point du plan u. Mais alors, pour tout point du plan u, le jacobien 



i 0(X, Y, Z, P, Q) 

 ï(*î !/. z. P. 7) 



Comme « est quelconque, les valeurs attribuées aux paramèlres p et q 

 sont quelconques et J = 0. Cela est absurde en vertu du n° 14. 



Pareillement, le nombre p des dimensions de SS U ne peut être zéro. En 

 effet, alors le système (2) doit fournir 



c'est-à-dire 



dx' = dy' = dz' = dp' = dq' = 0, 



JX 3X 3X DX 



— --t-p — = \- q — = 0. 



ix iZ iy iZ 



La matrice (3) est encore nulle et encore J = 0. 



En résumé, les deux hypothèses p < 2, p > 2 sont à rejeter; donc 



= 2. 



C. Q. F. D. 



33. Une objection peut être faite à la partie de la démonstration précé- 

 dente où l'on établit que p ne peut dépasser 2. 



Le plan m, parmi ses éléments adhérents, peut compter un, ou plusieurs, 

 ou même un nombre infini d'éléments fondamentaux tels que (x , m). Quand 

 (», m) tend vers (x , u) de toutes les façons possibles (c'est-à-dire quand le 

 pointa; tend vers le point x par tous les itinéraires possibles, sans toutefois 

 sortir du plan u), Pélément-image (y, v) parcourt une portion R T , à t dimen- 



