166 SUR LES FORMES QUATERNAIRES 



sions, de la variélé fondamentale, afférente à l'élément fondamental Çx , m). 

 R- est située sur la variélé primordiale P„. 



Or, « il ifest pas évident que r ne peut dépasser 2 » . Même « il peut 

 » y avoir sur u, go, ou go~ j , ... éléments fondamentaux et autant de 

 » figures R. ». 



Il s'agit de lever l'objection. 



34. Reprenons les formules du n° 32 cl faisons-y, ce qui ne restreint 

 pas la généralité, p == q = 0, d'où z == 0. Mettant en évidence les déno- 

 minateurs, on écrira 



X = X,(j, y) : X a (x, y), 

 Y = Y t (x, y) : YJx, y), 



X,, X , Y„ Y ( „ .... élan! des polynômes; X 4 sera supposé premier avec X , etc. 



Pour qu'un élément (£, u) soit fondamental, il faut qu'au point £ une au 

 moins des cinq fractions rationnelles X, ..., Q, en x et y, prenne la 

 forme -. Or, comme X, et X sont premiers entre eux, les deux courbes 

 X, = cl X = 0, par exemple, n'ont qu'un nombre fini de points communs. 



Ainsi : « il n'y aura, parmi les éléments adhérenls à m, qu'un nombre 

 » fini au plus d'éléments fondamentaux ». 



Soit (£, u) un pareil élément fondamental. Appliquons, pour construire 

 la portion R 7 (n° 33) de la variété fondamentale afférente à (£, m), le 

 procédé d'Aulonne(n n 28). Il n'y a plus que deux variables, x et y, analogues 

 aux /„ /• = 2; la figure û esl à une dimension au plus (n° 29). Par 

 conséquent R t coïncide avec Q et « - ne peut dépasser l'unité ». 



Ainsi « la présence, sur la primordiale <E U , de variétés R 7 ne peut porter 

 » à plus de 2 le nombre des dimensions de :£ u ». En effet, r = ou I, et 

 il n'y a qu'un nombre fini de variétés R-. En résumé, « p ne peut 

 dépasser 2 », et l'objection faite au n° 32 esl levée. 



35. L'importance des primordiales pour la classification et la construction 

 des crémoniennes résulte de la proposition suivante : 



Tiipouème. — - « Si, à mi même plan n (ou point x) quelconque dans 



