A DEUX SÉRIES DE VARIABLES. 167 



» l'espace, correspond la même primordiale a?„ (ou S x ), en vertu de deux 

 » crémoniennes s et s', ces deux crémoniennes ne sont pas distinctes, cl 

 » s = s' » . 



La démonstration est fondée sur plusieurs lemmes que nous allons 

 énumérer. 



Lemme premier :« Toute crémonienne qui laisse fixe un point (ou un plan) 



quelconque de l'espace, se réduit à la substitution unité (y, v) = (x, u). » 



Ce lemme sera élabli plus loin (n° 69 du chapitre VI de la présente partie). 



Lemme deuxième : « Soit dans un espace U la crémonienne s. Si Ton 

 » transforme U par une crémonienne /, s devient t~*st. » 



t~ l st est, pour employer la terminologie bien connue de M. Jordan, la 

 transformée de s par /. 



En effet, on a (y, v) = s [(oc, m)]. Transformons U par /, (x, u) devient 

 t[(x, m)] et (y, v) devient t[(y, »;)]. Ensuite 



l[(y, v)] = st[{x, «)], [y, v) = t-'st[{x, h)]. 



C. Q. F. I). 



Lemme troisième : « Soit £ x la primordiale du point quelconque x dans 

 » la crémonienne s. Si une crémonienne / laisse fixe chacune des oo 3 variétés 

 » s x (pour les oo 3 points x), alors / = 1. » 



Transformons tout l'espace par la crémonienne s~ i ; les oo 2 éléments de £ x 

 deviennent les oo 2 éléments adhérents à x. I qui laisse immobile £ x échange 

 entre eux les oo 2 éléments de *£ x . Par l'effet de s -1 , t devient (lemme 

 deuxième) sts~ [ et doit échanger entre eux les oo- éléments adhérents à x. 

 Donc sls~* laisse immobile le point x et (lemme premier) sls~ i = 1, / = 1. 



C. Q. F. I). 



Revenons maintenant à la démonstration du théorème. 



Par hypothèse, s[{x, w)] et s'[{x, u)] parcourent tous les deux la même 

 primordiale £ x . Soit (y, v) un élément quelconque de g x , s -1 [(?/, v)] adhère 

 par définition à a? et s's -1 [(y, y)] est situé sur £ x . 



Ainsi .s's - ' ne fait qu'échanger entre eux les oo 2 éléments de f r et 

 laisse £ x immobile; donc (lemme troisième) s's' 1 = 1, s' = s. 



C. Q. F. D. 



